1. Introdução

Em complemento ao relatório de gestão relativo ao projecto Matemática sem Fronteiras, elaborado e enviado em Julho passado, apresenta-se este documento que assinala o final do exercício do referido projecto. Nele se salientam, por um lado, as reacções de alunos e professores que, de algum modo, participaram no projecto, e, por outro lado, a natureza das actividades levadas a cabo.

Apresentam-se, também, algumas considerações complementares relativas às despesas feitas. Finalmente, em Anexo, incluem-se alguns dos documetos especialmente elaborados noâmbito do projecto.

2. Reacções dos professsores

O projecto não poderia ter sido levado a cabo sem a mobilização dos professores de Matemática das escolas participantes. Para além dos professores responsáveis pelo projecto nestas escolas, cujos nomes foram indicados no formulário de candidatura, outros professores se mostraram disponíveis para acompanhar a passo e passo as actividades levadas a cabo ou deram o seu contributo esporádico. Ao todo, terão tomado parte activa no projecto cerca de 40 professores.

O papel desempenhado por estes professores, e as suas reacções ao projecto são, no nosso entender, aspectos que devem ser colocados em primeiro plano. Nesta perspectiva, é, talvez, oportuno referir, em primeiro lugar, o caso dos professores da Escola Secundária de Valongo, que já tinham participado na acção Matemática sem Fronteiras, no ano lectivo de 1995/96. A sua adesão à iniciativa análoga desenvolvida no ano lectivo de 1996/97 foi incondicional, e determinante em termos de proporcionarem aos colegas das outras escolas uma imagem positiva do seu impacto, e de reforçarem a ideia de que não era complicado pôr o projecto em marcha.

No final, referiram-se a ela como "bastante válida", permitindo, assim, concluir que a iniciativa não cansa. Não obstante esta opinião, estes professores não deixaram de registar as suas recomendações que a seguir se transcrevem:

Sendo a segunda edição da Matemática em Fronteiras neste estabelecimento de ensino, verificou-se uma adesão maciça de alunos, que se traduziu pelo número muito elevado de interessados em participar, que excedia largamente o número máximo de participantes. Contudo, são de referir, em nossa opinião, alguns aspectos menos positivos, nomeadamente:

• introdução de condições propiciadoras de competição que parecem ter gerado alguma ansiedade nos alunos, em detrimento da diversão;

• repetição dos jogos relativamente ao ano anterior, o que se tornou de certo modo, desmotivador para os alunos que já os conheciam.

Um aspecto que nos parece digno de mencionar refere-se ao facto de que a adesão daqueles professores não foi acompanhada por uma crescente sensibilização para a iniciativa por parte dos outros professores de Matemática da referida Escola. Pensamos que, em face de acções como esta, muitos professores se interrogam: "Mas quais são as contrapartidas para nós?". Trata-se, naturalmente, duma questão a equacionar e sobre a qual se deve reflectir.

Face à necessidade ou oportunidade de se estender o projecto a outras escolas, cabe aqui també referir as opiniões de dois professores da Escola Soares dos Reis (Porto) que participaram pela primeira vez na iniciativa. Por exemplo, a respeito da exposição Viagem ao Mundo da Matemática, uma professora de Matemática escreveu:

Exposições como esta deveriam ser permanentes, em local que pudéssemos levar os nossos aluno que tão entusiasmadamente a elas aderiram. O que está fazer a Faculdade de Ciências do Porto? A Matemática Recreativa não pode ter lá lugar?

Opinião semelhante foi manifestada por outro professor de Matemática da mesma escola:

Achei a exposição bastante interessante, assim como o concurso; acho que falta no Porto um espaço tipo "museu" de ciência, ou um espaço dedicado à Matemática onde se possam levar os alunos.

Ainda em relação à exposição, vale a pena reproduzir a opinião de um professor de Matemática da Escola Dr. Manuel Laranjeira (Espinho) que substituiu uma sua aula por uma visita dos seus alunos à mesma:

Uma alternativa onde a didáctica estimula a criatividade e esta a emergência do sentido prático do saber. Um olhar sobre desafios lógicos, onde o estímulo de operações lógicas impulsionam a aprendizagem de um universo cativante: o da Matemática.

Acresce que, nas várias escolas, a exposição foi visitada por professores das mais diversas disciplinas, e que quase, sem excepção, os mesmos se mostraram muito interessados e manifestaram a sua satisfação em relação ao que viram. Uma professora da área das Humanidades, da referida Escola Soares dos Reis, deixou a sua reacção nos seguintes termos:

De ver "coisas"
Nascem coisas
Espantemo-nos com as coisas
Para criar "coisas espantosas..."
Professores e Alunos "bem hajam" por fazerem "coisas espantosas"

Apenas mais uma nota sobre a reacção dos professores à exposição, para referir o caso de duas professoras, uma de Matemática e outra de Português, que levaram os alunos de uma turma do 8º ano de uma escola do Porto não envolvida no projecto, a visitar a exposição Viagem ao Mundo da Matemática, no Salão Nobre da Faculdade de Ciências da Universidade do Porto. Tendo-lhes sido pedido para auscultarem as opiniões dos seus alunos relativamente aquilo que tinham visto, não se fizeram rogadas e enviaram um pequeno relatório. Na introdução de tal documento, intitulado Memória Breve, pode ler-se:

Junto remeto as apreciações dos meus alunos à Exposição "Matemática sem Fronteiras". Foram redigidas na aula de Português sem qualquer intervenção de professores. Estão simples mas dá para ver que o seu Horizonte Matemático se alargou, já não se restringe a Matemática às famosas contas. A Geometria é referida e há actividades de aula que não se "volatizaram". Há consciência de espaços a explorar, de algo a aprender!

E em geito de conclusão:

Muito obrigado em meu nome, em nome da Escola e de todos os que dela aproveitamos. Até uma outra, pois vai de certeza haver outras! Pela melhoria da Educação Matemática no nosso país...

Em relação às Aventuras Matemáticas, o balanço feito pela generalidade dos professores foi também extremamente favorável, com apreciações do tipo "o entusiasmo e empenhamento dos alunos excederam todas as minhas expectativas".

Em síntese, os professores, que tendem a 'ver' as coisas pelos olhos dos seus alunos, consideraram, em geral, que Matemática sem Fronteiras foi uma experiência muito positiva, "um sucesso". Algum nervosismo e algum cepticismo que pudessem ter sentido, incialmente, tinham desaparecido completamente. A prová-lo, também, o facto dos professores mais directamente envolvidos no projecto terem, imediatamente, respondido favoravelemente à chamada para continuar o projecto no ano lectivo de 1997/98.

No entanto, e apesar do empenhamento dos professores e deste balanço positivo, parece-nos importante fazer evoluir o projecto no sentido de que os mesmos tenham uma participação mais activa, e sintam o projecto mais como uma actividade da escola do que uma iniciativa oferecida por alguém de fora.

3. Reacção dos alunos

Tanto quanto nos foi dado observar, e tendo em conta, também, os seus comentários escritos, Matemática sem Fronteiras é uma iniciativa capaz de influenciar positivamente o modo como os alunos vêm a Matemática e as suas atitudes em relação a ela. De facto, entusiasmo e empenhamento não faltaram tanto nos alunos que participaram nas Aventuras Matemáticas, como nos que visitaram a exposição Viagem ao Mundo da Matemática.

É inegável, por exemplo, que a exposição Viagem ao Mundo da Matemática continha todos os ingredientes que servem para quebrar barreiras e que os alunos apreciam - variedade, desafios, interacção. Frases como "Estas actividades deviam ser realizdas mais vezes; foi muito divertido", "Achei uma exposição bastante interessante. Bastante bem realizada. Parabéns a quem a organizou", "A exposição é divertida, é o caminho para a Matemática moderna. As aulas podiam ser assim, mais vezes", "A verdade é que a Matemática pode ser bem divertida, como esta exposição mostra", "Eu achei a exposição divertida, na medida em que podemos "brincar" com a Matemática, e desperta o interesse dos alunos" mostram bem que Viagem so Mundo da Matemática deixou a maior parte dos alunos maravilhados. E se é bem verdade que não basta maravilhar, também não restam dúvidas que é preciso maravilhar!

Mas houve também algumas críticas quanto à dificuldade de alguns jogos, e ao facto de não serem fornecidas as suas soluções: "A exposição é muito fixe e criativa, mas os prblemas são difíceis! Onde estão as soluções?"

Mais elaborados são os comentários dos alunos do 8º ano que visitaram a exposição, na Faculdade de Ciências, com as professoras de Matemática e de Português. Vale a pena reproduzir aqui um ou dois desses comentários. O Daniel escreveu:

Quando entrei na exposição, a coisa que me chamou mais a atenção foi o quadro do 1 milhão, pois nunca pensei que um milhão fosse tão grande em aspecto numeral. Depois, fui logo para os jogos. Os jogos, foi o que eu mais gostei. Nunca tinha pensado que com esses jogos se usava a matemática. Na minha opinião, acho que tinha tudo a ver com a Matemática, até as coisas mais simples. Foi bom!

Por sua vez, a Andreia registou:

Eu gostei da exposição. Achei que estava muito interessante, principalmente a "ilusão de óptica", aquela brincadeira como "apanha o carrinho". Vi também o "_" e o Teorema de Pitágoras, nas cartolinas. Gostei de brincar e manusear aqueles jogos e achei interessante a ideia de lá terem um computador.

Para além da variedade de aspectos e assuntos apresentados na exposição, a estratégia seguida no sentido de atrair a atenção dos alunos para eles, através das informações dadas, bem como de uma pequena ficha de questões, que se correctamente respondidas davam direito a um pequeno prémio, parece-nos ter contribuído para o sucesso da actividade. Mas, também é verdade que consideramos que mais esforço deve ser feito para, por exemplo, tornar a ligação entre o que é apresentado e a Matemática mais explícita e encorajar mais reflexão sobre a Matemática envolvida nas tarefas propostas.

Variedade foi algo que também estava presente nas tarefas propostas nas Aventuras Matemáticas. Mas foi certamente a ideia de realizar estas actividades em grupo, e num espírito de competição que mais entusisasmo e empenhamento despertou entre os alunos. É verdade, que, às vezes, um excesso de espírito competitivo levou a alguma insatisfação com as classificações, mas, no final, os elogios foram quasi unânimes.

Como no caso da secção anterior, consideramos oportuno lançar, em primeiro lugar, um olhar sobre as reacções dos alunos da Escola Secundária de Valongo, que já tinham participado nas Aventuras Matemáticas no ano lectivo anterior. Eis os comentários de um grupo de alunos do 9º ano:

Todos nós gostámos de participar na Matemática sem Fronteiras. Foi uma tarde agradável, apesar de termos ficado em 3º lugar. Melhorou bastante em relação ao ano passsado, em termos de organização. Correu tudo muito bem. Todos nós gostarámos que enquanto estivéssemos nesta escola, continuasse a haver Matemática sem Fronteiras, pois é um aexcelente forma de pôr em prática todo o nosso conhecimento na Matemática.

Um outro grupo de alunos mais velhos (12º ano) foi um pouco mais crítico:

Na eliminatória realizada na escola, os jogos correram bem apesar de não estarem bem organizados a nível de júri, deveria ter havido um júri por mesa. O 12º ano foi o mais prejudicado pois era o ano que se encontrava mais afastdado da mesa do júri. Na eliminatória realizada na Faculdade de Ciências, a nível do júri, os jogos estavam mais bem organizados apesar de no fim ter havido problemas com a pontuação. Além disso, as senhas dos transportes públicos não foram reembolsadas tal como tinha sido dito. O nosso grupo agradece tudo o que foi feito apesar de lamenar certos apasectos. Seria bom que estes jogos tivessem continuidade pois são iniciativas interessantes para aumentar um contacto extra-curricular com a Matemática, o qual se torna agradável e desvanece um pouco a opinião geral de não se gostar de Matemática.

Estas observações chamam a atenção para a importância que os alunos atribuíram ao aspecto competitivo da actividade. Apesar de não ser um aspecto que gostássemos de ver relevado, a verdade é que, ao mesmo tempo, ele sugere que os alunos se deixaram entusiasmar pela actividade e, mais do que isso, se deixaram apropriar por ela. Vale a pena, ainda reproduzir a opinião individual expressa pelo Hélio, um aluno do 11º ano da mesma escola:

Gostei muito da Matemática sem Fronteiras. Além de ser um dia diferente, os jogos eram engraçadíssimos e os professores responsáveis e o apresentador eram super-simpáticos. Gostava muito de repetir a experiência, como tal o meu desejo é que vocês voltem cá para o ano. Como tudo o que é bom não é perfeito queria dizer-lhes que vocês falharam em alguns aspectos tal como por exmplo na repetição de alguns jogos do ano anterior (o que beneficiou em muito a equipa do 12º ano, equipa esta que já era repetente nos jogos). Por outro lado, gostava que a Matemática sem Fronteiras fosse alargada a mais turmas, e que o espaço fosse maior.

Para além da competição, as Aventuras Matemáticas constituíram um momento de convívio que muitos alunos apreciaram. O projecto foi capaz de actuar como um centro de comunicação e ligação entre os estudantes, aspectos da aprendizagem que parecem ser muitas vezes esquecidos. Por exemplo, a equipa dos Fibonacci da Escola Soares dos Reis declarou:

Gostámos muito dos jogos, não só pela parte do desenvolvimento intelectual como também pela parte do convívio com os colegas onde se fazem novas amizades. A continuação destes jogos é muito importante para os próximos alunos que cheguem à escola porque eles próprios se irão sentir mais à vontade na comunidade estudantil. A parte do lanche nunca esqueceremos na nossa vida. Comer de graça na escola nnao acontece todos os dias!

Para finalizar, reproduzem-se ainda os comentários da equipa do _'s, da Escola Alexandre Herculano:

Achamos que é bastante interessante esta iniciativa da Faculdade de Ciências do Porto. É uma forma diferente de abordar e trabalhar a Matemática. O último jogo é uma demonstração de como a Matemática é importante para um raciocínio coerente e ainda mostra a sua importância e a interferência que tem sobre este.

Como se pode ver, o impacto das Aventuras Matemáticaz nos alunos foi variado, e, talvez, de longa duração.

Mas... Uma das nossas preocupações era oferecer uma Matemática para todos. Parece-nos que mais esforços devem ser feitos para que o que pode parecer uma utopia, venha brevemente a torar-se uma realidade.

4. Natureza das actividades

As tarefas propostas nas Aventuras Matemáticas, bem como o tipo de actividades, experiências e informação apresentadas na exposição Viagem ao Mundo da Matemática foram da mais variada natureza, e abordaram os mais diversos aspectos e domínios da Matemática. É nossa intenção, nesta secção, dar uma vaga imagem dessas tarefas, actividades, e experiências que foram planeadas e preparadas com o fim de criarem ambientes propícios ao desenvolvimento não só de uma atitude favorável dos alunos em relação à Matemática, mas também do seu poder matemático.

Aventuras Matemáticas

As tarefas propostas para as Aventuras Matemáticas, nas várias escolas, foram, na sua maior parte, aquelas que tinham sido elaboradas, no ano lectivo anterior, pelos alunos do 4º ano da Licenciatura em Matemática -- Ramo Educacional, a frequentar a disciplina de Metodologia da Matemática sob a responsabilidade da Coordenadora do Projecto, e que tinham já sido utilizadas no âmbito da acção Matemática sem Fronteiras, na Escola Secundária de Valongo.

Tal opção baseou-se no facto da experiência do ano anterior nos permitir concluir que as tarefas eram, na sua maioria, apropriadas para serem resolvidas, em grupo, pelos alunos, e capazes de suscitar o seu entusiasmo e empenhamento. No sentido em que foi entendido o Projecto, e dado que estas tarefas correspondiam apenas à fase inicial do mesmo, a objecção de que elas eram já conhecidas por parte dos alunos daquela escola foi considerada irrelevante.

Como foi explicitado anteriormente, contudo, tal escolha acabou por vir a ser criticada pelos professores da referida escola, bem como por um dos grupos participantes em tal escola. Embora pertinente, este tipo de reacção não se relaciona com a natureza das tarefas. Sob este ponto de vista, parece não haver dúvidas que estas foram adequadas aos objectivos que pretendíamos atingir.

Neste documento, porém, limitar-nos-emos a referir as oito tarefas que foram apresentadas na Final das Aventuras Matemáticas, por terem sido elaboradas exclusivamente no âmbito do corrente projecto. Uma listagem dessas tarefas é apresentada a seguir:

Jogo nº 0 -- O CUBO PINTADO
Jogo nº 1 -- METODUAL
Jogo nº 2 -- O ALFABETO DE PLASTICINA
Jogo nº 3 -- O POLÍCIA SINALEIRO
Jogo nº 4 -- NÚMEROS FIGURADOS
Jogo nº 5 -- A FIGURA ESCONDIDA
Jogo nº 6 -- MENSAGENS SECRETAS
Jogo nº 7 -- MATMENTE

Os enunciados respectivos, exceptuando o do jogo nº 1, no qual foi utilizado o computador, são apresentados em Anexo.

O trabalho em grupo foi a forma usual de organização para todas as tarefas (com a excepção do jogo nº1, que foi executado apenas por um elemento de cada equipa) com todas as equipas, do ensino secundário e do 3º ciclo, a realizarem as diversas tarefas ao mesmo tempo. As condições em que as mesmas foram levadas a cabo, e a exemplo do que tinha acontecido já nas escolas, foram modeladas no conhecido programa televisivo Jogos sem Fronteiras, constituindo, sem dúvida um aspecto extremamente agradável e estimulante para os alunos.

Viagem ao Mundo da Matemática

Como no caso das Aventuras Matemáticas, muitas das ideias presentes na exposição Viagem ao Mundo da Matemática tiveram a sua origem em trabalhos realizados no ano lectivo anterior, pelos alunos do 4º ano da Licenciatura em Matemática -- Ramo Educacional, a frequentar a disciplina de Metodologia da Matemática. Estes consistiam fundamentalmente de cartazes reflectindo a história e filosofia da Matemática, ao longo e através do tempo. Como consequência do subsídio atribuído pelo programa Ciência Viva, foi possível enriquecer enormemente a exposição através da aquisição de uma profusão de recursos relacionados de algum modo com a Matemática.

É sobre esses recursos (e sobre as actividades que eles proporcionaram) que nos debruçaremos de seguida. Tais recursos podem ser caracterizados como sendo de dois tipos: um de natureza dinâmica, envolvendo a manipulação de objectos (por exemplo, jogos, puzzles e construções, e software interactivo), e o segundo, mais 'estático', proporcionando informação verbal ou pictórica (por exemplo, livros, posters e vídeos).

Como foi referido em documento anterior, grande parte dos recursos foram adquiridos no estrangeiro, nomeadamente na Grã-Bretanha. Assim, no sentido de minorar dificuldades relativas a falta de domínio da língua Inglesa por parte dos alunos, por um lado, mas também como forma de aprofundar a sua experiência com estes materiais, foram elaborados alguns textos resumindo informação e tentando clarificar ideias e objectivos.

Por exemplo, no que diz respeito a grande parte dos livros patentes na exposição, preparámos sinopses, de cerca de uma página, concebidas para registar os aspectos mais salientes neles contidos, e porporcionar, assim, uma vaga ideia do que eles tinham para oferecer. Em Anexo, e com o título genérico de Impressões Matemáticas, apresentam-se 21 dessas sinopses. Como o nome sugere, elas permitem dar impressões várias da Matemática, pondo em relevo os milhares de anos da sua história, mas também os seus desenvolvimentos mais recentes, como, para além disso, a beleza e o poder desta ciência.

Igualmente, preparámos algumas folhas informativas relativas a outro tipo de materiais expostos. Eranosso desejo fazer isso para todos os materiais, mas tal tarefa, contudo, acabou por ficar incompleta.

Outra colecção de documentos que foram elaborados com o propósito de atrair a atenção dos alunos para a informação patente foi um conjunto de questões realcionadas com os materiais expostos, e às quais os alunos visitantes eram convidados a responder. Tais documentos encontram-se reunidos em Anexo (Anexo 4).

5. Observações complementares sobre as despesas efectuadas

Em aditamento às informações prestadas no relatório de gestão do projecto enviado anteriormente, apresentam-se de seguida algumas notas referentes a despesas efectuadas no âmbito do projecto, e às quais não se fez alusão no referido relatório. Uma descrição detalhada das despesas efectuadas, bem como os recibos respeitantes a essas despesas são apresentados pela Secção de Contabilidade da Faculdade de Ciências da Universidade do Porto.

i) Refeições e transportes

Um primeiro tipo de despesas diz respeito a refeições que entendemos dever pagar aos vários alunos da licenciatura em Matemática - Ramo Educacional, da Faculdade de Ciências da Universidade do Porto, e que, como referimos no citado relatório, prestaram uma colaboração determinante para levar a bom termo Matemática sem Fronteiras. Para além das refeições referentes aos dias em que se realizaram as acções em escolas situadas fora da cidade do Porto, julgou-se por bem oferecer um jantar, para assinalar o fim do projecto, a todos os alunos que nele colaboraram. Apresentam-se, também as despesas relativas às refeições, alojamento e viagens dos dois colaboradores do projecto, que se delocaram a Lisboa, para participar e colaborar com a coordenadora do projecto, no Forum Ciência Viva.

Incluem-se, igualmente, as despesas feitas com os lanches oferecidos aos alunos nas várias escolas, bem como com o almoço e lanche que lhes foi oferecido no dia da Final das Aventuras Matemáticas, na Faculdade de Ciências da Universidade do Porto. Finalmente, apresenta-se a despesa com o jantar oferecido aos professores da Universidade do Porto que graciosamente se dispuseram a proferir as pequenas palestras no dia dessa Final.

Contemplam-se, ainda, neste domínio, as despesas com gasolina referentes às viagens feitas em viatura própria de e para as escolas, e em apenas um caso, com táxi, para transporte dos materiais para a exposição Viagem ao Mundo da Matemática. Incluem-se, além disso, despesas com títulos de trasporte apresentados pelos alunos da Escola Secundária de Valongo, relativos à sua participação na Final na Faculdade de Ciências.

Ainda a respeito de verbas relativas a esta rubrica, cumpre informar que as despesas efectuadas com as viagens da Coordenadora à Grã-Bretanha e a que se fez referência no relatório anterior acabaram por não ser incluídas, por falta de cabimento.

Incluem-se aqui as despesas com materiais de papelaria, tais como cartolinas, papel, acetatos, marcadores, bem como com caixas para guradar os materiais da exposiçõa Viagem ao Mundo da Matemática. Igualmente, se contemplam, nesta secção, as despesas com fotocópias relativas à policópia de materiais escritos necessários para as Aventuras Matemáticas, tanto nas várias escolas, como na Final na Faculdade de Ciências.

Integram-se, também, as despesas com rolos fotográficos, cassetes vídeo, e revelações, que foram feitas no sentido de registar e divulgar as várias acções incluídas no projecto. Finalmente, incluem-se as despesas, com correio, para correspondência e fax, feitas no âmbito do projecto.

6. Um comentário Final

Como já salientamos no relatório anterior, foi uma experência árdua, mas fascinante. Em quase todas as escolas, os alunos pediram que Matemática sem Fronteiras voltasse para o ano. Assim esperamos. Mas é evidente que se torna necessário oferecer uma experiência com a Matemática mais alargada, quer em termos da audiência a atingir quer em termos de tempo.